Les mathématiques naturelles

Présentation

Dans les classes de Danielle et Marcel THOREL, les élèves travaillent en petits groupes (pendant que les autres élèves sont en P. de T. ou sur fichiers).

Il faut démarrer à partir de « l’événement ». Les recherches peuvent démarrer à partir :

• des productions d’enfants sur leur bloc de créations.                                  Exemple : La symétrie à partir d’un dessin d’enfant ;
• de l’entretien du matin.                                                                    Exemple : La notion d’écart : « j’ai joué au foot avec mon papa et j’ai gagné 3 à 1 » (travail sur les écarts jusqu’à 11) ;
• d’un texte d’enfant.                                                                          Exemple : Invention de machines : à 1 objet correspond une longueur : « une histoire de fée qui transforme les chiens en chat » ;
• d’une création mathématique d’enfant.                                               Exemple : exploration des naturels…

Une création, c’est un prétexte pour parler de maths. Le maître doit alors organiser le mouvement.

Par exemple : à partir d’une création qui comporte des traits verticaux, des ronds, des triangles… un élève dit que ça lui fait penser au plan d’un parcours codé, on pourrait demander alors à cet élève, qu’il représente le plan de son jardin. Derrière cette piste, il y a le plan de la classe, celui de l’école mais aussi l’idée d’échelle et donc de mesure, de repérages, etc.

Si l’enfant va jusqu’au bout de son idée, il va maîtriser quelque chose. Ce sont les défis qui vont assurer la maîtrise.

Par exemple, si les enfants inventent beaucoup de codages, ils seront beaucoup plus disponibles pour accueillir le codage le plus efficace que l’homme a choisi : le système décimal !

Concrètement :

Une création doit comporter le nom de l’auteur et un titre.

Pour l’exploitation en collectif (recherche de pistes qu’on note au fur et à mesure…), le maître agrandit la création à la photocopieuse en A3 (pour l’affichage au tableau mais aussi pour la mémoire de la classe en vue du tri + trous). Le maître demande aux élèves du groupe qui travaille en recherche maths leurs idées qu’il note au tableau. Il faut éveiller leur curiosité.

C’est seulement à la fin, qu’il demandera à l’auteur, son attention.

Ensuite, il photocopie la création en A4 que les élèves collent dans leur cahier de maths.

On ne gomme pas les recherches. Elles sont faites sur des feuilles A4 scotchées entre elles.

On essaie alors de refaire l’événement à la main puis à la machine (calculette ou papier calque ou pantographe…). On obtient alors une accumulation de données.

Ensuite, c’est l’exploitation de ces données pour en tirer une loi ou un invariant. On reproduit le phénomène sans machine.

Pour finir, on essaie de composer l’événement avec d’autres.

Ainsi, les enfants comptent, utilisent les nombres tous les jours.

Les enfants construisent leurs connaissances mathématiques à partir d’eux. Ils construisent leur propre patrimoine mathématique. C’est à l’enseignant de faire en sorte que ce patrimoine grandisse par petites touches :

CEn gardant les créations pour pouvoir les trier : exemples : double et moitié. Il faut que ce soit les élèves qui disent ce qui rassemble mais, ça peut aussi être le maître.

Réflexion sur le programme : ce n’est pas le point de départ du travail des enfants. Ce qui est exploité dans la classe, ce qui est apporté par les enfants correspond pratiquement point par point au programme. Il est bien souvent dépassé collectivement mais jamais complètement individuellement. Ce qui est difficile c’est que l’ensemble de ce qui est proposé dans la classe soit approprié par tous.

Pour pouvoir exploiter les productions des élèves, il faut que l’enseignant soit au clair avec :

• La notion de fonction (Symétrie : perpendicularité et équidistance ; Translation : parallélisme et distance ; Rotation : notion d’angle ; Homothétie : rapport) ou « machine »
• La notion opération
• Les codages
• Les mesures 

On peut, pour commencer, organiser dans sa classe un stage maths, comme on organiserait un stage théâtre, un stage histoire, un stage sciences.

Le w indiv / w collectif = présentation qui amène le vocabulaire.

Pour que cela fonctionne, Marcel a défini 3 axes:
- l’autodétermination ou la motivation : il faut qu’il y ait une part de choix de l'enfant (ateliers, conseil...)
- les compétences : les apprentissages réels ne doivent pas être trop éloignés des capacités de l'enfant (ni trop difficiles : décourageant, ni trop faciles : ennuyeux)
- un climat social chaleureux où l'enfant se sent en sécurité (respect et entraide).
Ces trois conditions remplies permettent une motivation intrinsèque de l'enfant, sans faire l'économie de l'exigence.
Marcel nous a suggéré de passer notre pratique sous ce triple éclairage quand ça ne "roule " plus.... 

Mode d’emploi

selon Paul LEBOHEC

Pour une classe de 24 élèves, faire 2 groupes de 12 par exemple :

Groupes A		Groupes B
A1	6 élèves	B1	6 élèves
A2	6 élèves	B2	6 élèves

Chez Paul LEBOHEC, les élèves ont une pratique quotidienne des créations mathématiques :

• Le lundi, on étudie les 6 créations du groupe A1 en présence de A2, pendant que les groupes B sont en Plan de travail (T. I.)
• Le mardi, on étudie les 6 créations du groupe B1 en présence de B2, pendant que les groupes A sont en Plan de travail (T. I.)
• Le jeudi, on étudie les 6 créations du groupe A2 en présence de A1, pendant que les groupes B sont en Plan de travail (T. I.)
• Le vendredi, on étudie les 6 créations du groupe B2 en présence de B1, pendant que les groupes A sont en Plan de travail (T. I.)

Ainsi, dans la semaine, tous les enfants ont vu leur création étudiée.

Mode d’emploi

selon Marcel et Danielle THOREL

Marcel et Danielle suivent à peu près le même modèle.

Dans une des classes de cycle 2 de Mons en Baroeul, la maîtresse fabrique les fiches de T. I. en fonction de ce qui s’est dit : par exemple, ce qui se dit le lundi matin pour le groupe A servira à l’élaboration des fiches pour le T. I. de mardi matin.

On peut aussi envisager de faire une semaine de création pour avoir un maximum de « pistes » à exploiter pendant les semaines qui suivent.

Une journée type à Mons en Baroeul : le matin

• A Mons-en-Baroeul, les journées commencent toujours par la distribution et la lecture du journal de la veille : tout au long de la journée, le maître a pris des notes sur les différents moments forts qu’il met en forme directement sur son ordi.
• Puis vient l’entretien (ou quoi de neuf). Chaque élève a le droit à un « sablier » (soit environ 3 minutes) pour parler + questions. Si les questions sont trop importantes, le maître propose alors à l’élève de faire une conférence (prévoir 2 sabliers pour ne pas avoir à attendre la fin de l’écoulement pour le suivant). Pour enrichir les propos d’un élève, on peut lui poser des questions :
  • Et ailleurs ?
  • Et avant ?
  • Comment ?
  • Questions philosophiques
  • Questions mathématiques
  • Connotations artistiques
• Après l’entretien du matin, c’est le temps de travail individuel où les élèves qui ne sont pas en création mathématique écrivent (textes libres, correspondance ou conférence) :

• Les lundis matins, le maître se consacre essentiellement à l’analyse de création math,
• Les mardis matins, le maître se consacre essentiellement à l’analyse de texte,
• Jeudis matins, le maître se consacre essentiellement à l’analyse de maths,
• Vendredis matins, le maître se consacre essentiellement à analyse de texte.
• Pour terminer, c’est le temps de travail collectif :
  • en maths = recherche
  • en français = les élèves mettent au point le texte d’un élève (toutes les semaines, un nouvel élève doit choisir parmi tous ses textes celui qu’il souhaite mettre au point collectivement, ainsi tous les élèves voient au moins un de leur texte mis au point collectivement) qu’ils vont approfondir tout au long de la semaine pour finir par la dictée du texte.

L’après-midi, c’est le temps des conférences :

• En première heure, les élèves élaborent leur conférence : sur une feuille A3 en portrait (avec trous en haut de la feuille), les élèves écrivent deux ou trois articles qu’ils illustrent d’autant de dessins ou de photos.
• En deuxième heure, ce sont les présentations : présentation de livre (2 sabliers) ou de conférence (5 sabliers). Chaque élève aura la photocopie en A4 des conférences présentées et la conférence A3 sera rangée sous le tableau : histoire, géographie, sciences…
• La dernière heure est consacrée aux ateliers : sport, arts plastiques, musique…

Des productions aux apprentissages

en suivant les conditions institutionnelles

Procédure générale : on démarre toujours par l’évènement. Puis on essaie de refaire l’évènement : si évènement géométrique, on essaie de le refaire à la main puis après avec une machine : calque, pantographe ou si c’est un évènement numérique, on peut utiliser la calculette… ð accumulation de données

                                                              ð exploration de ces données

                                                              ð lois ou invariant : on refait le phénomène sans machine et on essaie de composer l’évènement avec d’autres.

La technique opératoire : Par exemple à partir de l’entretien :

« Hier, je suis allé à un mariage. J’ai acheté une boîte de 12 pétards. »

         1        à      12                        

         2                 24

3                 36               Pour 3 boîtes (1 + 2), on a 12 + 24 pétards

4                 48               Pour 4 boîtes (2 x 2), on a 2 x 24 pétards

5                 60

6                 72

7                 84

8                 96

9                 108

10               120             Pour 10 boîtes, on a 10 x 12 pétards

On obtient ce qu’on appelle le « graphe » de la relation. Le but, c’est d’avoir le maximum de couples. Pour donner du mouvement à ça, il faut se donner un but : « Et si on achète 37 boîtes ? »

La technique opératoire experte sera donnée en solution comme quelque chose de plus rapide, pour gagner du temps.

En géométrie : par exemple la symétrie : « Si on se regarde dans un miroir, on se voit à l’envers. » Le maître demande à l’élève de représenter ce qu’il vient d’annoncer par un dessin simple :

ð « Fais le dessin. »

A partir de ce dessin fait à main levée, des critiques vont apparaître.

ð Maître : « Comment faire pour que ça « marche » ?

ð Utilisation du papier calque/quadrillage/pliage/découpage…

ð couples :

ï ¡ e x

ð ¡ e y

  

 

                      

Les lois de la symétrie vont apparaître : équidistance, perpendicularité

Après, on compose : faire 2 fois la symétrie : si axes parallèles = translation

En mesure : « Mon stylo est plus grand que le tien. »

ð abstraction de la grandeur (on se met d’accord)

ð relation d’ordre : le stylo bleu est plus long que le stylo vert.

ð mesure avec unités locales (mesure avec la gomme), système qui peut devenir propre à la classe.

ð unités légales + conversions : exercices en collectifs

dans la classe, on s’arrête régulièrement et on se demande comment on fait et où on en est : les 3 « D » :

ð « J’en suis au début » : on ne sait pas encore où on va

ð « J’en suis au défi » : l’idée s’est structurée, je sais vers quoi je dois aller

ð « J’en suis à la démarche » : généralisation en vue de présenter aux autres

Notes prises par Isabelle RAZOUX